啊哈

“醉”美数学

贾德星老师是我校优秀校友，他在数学领域有独到见解。他的“醉”美数学可以极大换起学生对数学的兴趣。现刊发他的文章，以飨读者。

贾德星，周口一高1986届毕业生，当年以优异的成绩考入北京大学数学系；曾加入北大登山协会（北大山鹰社的前身）。曾在北京55中任教。1997--2000年到人大读研，后在建行工作。崇尚积极心理学，喜欢积极乐观的生活方式。痴迷读书，爱下笔抒怀。新千年，曾在建行报发表多篇散文，比较关注时间主题。近年积极参与教育文化类信息传播。2019年10月开始强化对数学文化与教育教学领域相关信息的系统收集和传播。2021年初以来，以初等数学方式，在足球图案与半正则多面体、素数邻差(间隙)和《吠陀数学》的欣赏与探讨方面颇有所获。7月份，曾在北大86级校友群做过一次《数学情》主题讲座。2018年组织社区读书活动三十余次，2021年因此荣获北京海淀区最美家庭；《那时年少》入选文集《博雅漫记》。2020年以来多次发表稿件：《人生能有几回择》入选毕业三十年云聚纪念文集；《山鹰岁月》已在《北大山鹰社》公众号转载；《数学才子解读《平凡的世界》》已在《路遥文学馆》公众号转载；《怀念我的父亲》以朴实无华的风格得到人们认可。

图为贾德星（右）2021年6月19日，回母校拜访郭懋正老师。

目录

1. 莫忘趣味数学乐园，享受数学的天真烂漫

2. 信步数学花园，体会数学之美

3. 致敬丁校长，欣赏数学之用

4. 跟随华老的引领，体会主动参与

5. 我的“数学情”

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致敬丁校长

欣赏数学之用

丁石孙老校长以其卓越的学校管理才能和风格，广受师生们尊重。作为数学家和教育家，他的课也是很多学生的美好记忆，他的文章和著作也成为不少学生的珍藏。跟朋友们一起学习领悟他的文章、著作和教育思想，是我两年多来念念不忘的心愿。

他在一篇文章《数学的力量》里，首先举例介绍数学与其他学科良好互动的伙伴关系。

例1，计算机设计的思想是怎么产生的？1900年，大数学家希尔伯特在世界数学家大会上提出过23个问题，其中之一是问有没有一种方法能够判断一个整系数的多元多项式组有无有理数解，或有无整数解？或者说：有没有这样的一种算法？但直到1936年才对“算法”有比较明确的定义。这一年，有几个人不约而同地对算法给出来一些定义。其中之一是图灵，他设计了一种图灵机，这就是一种理想化、当然也是概念性的计算机。

而今，计算机、电脑、手机、算法和APP早已无所不在，对于我们成为像空气一样的必需品了。日前某单位进行定制版邮箱系统的切换，曾经出现死机多日的情况；据说后来找到一位算法方面的高人进行优化，然后系统运行就稳定多了。我对算法重要性的印象由此更加深刻了。

图灵机

例2，群论的产生及其应用。群论最开始就是从一元高次方程解的公式是否存在发展起来的。19世纪30年代，法国年轻数学家伽罗华给出一种方法，可以判定多少次方程的根能用系数来表达；所谓表达，就是指通过加减乘除和开方这些运算来给它完整表示出来。他由此就提出了群的概念。群就是对于对称性的一种度量，所谓变换群的结构等。但群的概念刚开始并不大被大家接受。19世纪末到20世纪初，俄国化学家率先利用群的概念解决了化合物晶体种类的问题,最多有230种。

例3，博弈论的产生及其应用。二战期间，德国的空军力量很强，飞机很多、质量也很好。盟军考虑怎么利用劣势的空军来打败德军。他们找了一批数学家，冯·诺依曼就是其中之一。他们通过研究，就提出了博弈论。博弈论后来在经济数学这一方面产生了比较好的作用。

数学的作用，不限于作为一门知识或一种工具，它实际上有一种对人才的培养功能，特别是思维训练方面的功能。典型例子，上世纪80年代诺贝尔化学奖得主霍夫曼解决的主要问题是提出了分子轨道对称守恒定律，而他所采用的工具主要是数学。

数学研究的对象比较抽象，研究对象的抽象，决定了它有三个特点。其一，数学是训练人的思维方法，即如何进行抽象思维。其二，数学对概念的定义要求特别严格，要求说得清清楚楚。比如说，什么是圆（圆周）？就是在同一个平面上跟一个定点距离相等的所有点的轨迹（集合）。所以，数学思维方法训练有素的人，即便是在生活中，也会习惯于先清楚了解所讨论问题里的概念、要求。其三,特别重视逻辑的严格性。因为抽象，只能靠逻辑方法来展开；表述的严谨，自然也是题中之义。

与此类似，《培根论人生·论读书》里说：数学使人周密。俗话也说，数学是思维/智力体操。接受过数学训练之后，有思维应变能力和适应能力，对抽象思维的胜任能力（参考《姜伯驹与数学教育》谈方正集团的王选等数学系毕业生）。事实上，在人类历史的近两千年里，欧式几何通常就是用来进行思维训练的。所以有人称数学，尤其是几何，就是一种思维体操。能不能把平面几何给甩掉，直接就开《形式逻辑》课？实践表明这种方式，学习效果不好。而《平面几何》非常直观，都比较容易接受，培养逻辑思维的能力才比较有效。

文章末尾还提到数学是文化的一部分，并对东西方的数学文化做了比较。西方，尤其是文艺复兴之后的很多哲学家，都喜欢搞理论体系，这是他们西方思维的一种习惯。而中国传统文化对理性思维不太重视。中国的数学书，像《周髀算经》《九章算术》等，有若干典型问题及其解法，或者编一个包含问题与答案的口诀，也都提到一些很重要的结论，比如孙子剩余定理等，但不讲定义、定理，也没有证明过程，也没有比较清晰的逻辑体系。从数学发展的角度来讲，这也是一个很大的弱点。

2019年十月，通过纪念文集《丁石孙与中国数学》，我还学习到丁校长教育思想，摘要如下：从学校和老师的角度，强调三项观念，即尊重学生自主自由的发展；重视基础和通识教育；对学生积极的、弹性的引导。从学生的角度，强调三项能力，即为人达观，乐于和善于与别人沟通；有家国情怀、社会责任感，积极参与和推动社会的发展；学好和用好辩证统一的哲学常识。从各方面来讲，都要有战略眼光，关注世界的发展大趋势，要有预见性，与时俱进、因需而变。

拉斐尔《雅典学院》

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跟随华老的引领

体会主动参与

华罗庚先生，我们这几代人都耳熟能详，也可谓家喻户晓。中学就有华老的文章，讲统筹法、勤能补拙和勤能生巧，这些都是实实在在的经验之谈。华老的突出特点就是计算能力超强。他原来是自学，后来到清华学习，接受了比较规范的数学训练。像微积分可能算过的题有上万道，可以讲滚瓜烂熟。华老看到别人给出的一些结论，有时候通过矩阵运算等，能给出比较好的证明，有的问题还能给出初等解法。他非常扎实的基本功和学术功底，他丰硕的学术成果，他为新中国数学研究和高教队伍的培养、数学研究机构和事业的建设发展所做出的贡献，他在中国科技大学数学系推行的一条龙教学法，都非常令人佩服。他的学生王元先生曾经写过传记《华罗庚》，我考研时曾碰巧拜读过，精神上颇受启发和鼓舞。2021年，阅读丘成桐和现代计算数学专家与著名的有限元方法开创者冯康的传记，也都能看到有关华老著作引领作用的介绍。

关于华老和印度数学天才拉马努加的比较，我2021年曾经跟同学曾思欣做过沟通：拉玛努加可以说是一个神人，他搞了很多非常艰深的数学恒等式，甚至还有不等式，他搞这些东西可能是用一种比较特殊的方法。他得到的那些结论，经过英国数学家哈代、李特尔伍德等的验证，基本没问题。但怎么证明呢？拉玛努加不会，他就是能把结果给你整出来；这些东西，据说后来在量子力学等方面也派上了很大的用场。但“华老不一样！”曾思欣说：华老的结论，证明都是清清楚楚的。

华罗庚先生还有句名言：读书先要由薄到厚；再反过来，由厚到薄。通常意义上，“由薄到厚”是讲积累。再进一步延伸，就是善于做审题分析。谷歌专家吴军提到可用余弦定理来解决新闻的高速自动分类问题。其中的关键何在？特意选取此例，是因为学习、研究和欣赏数学，都离不开好奇、热情甚至激情的典型体验。从“对新闻进行高速自动分类”的角度看。电脑或网络处理器如果能行，必须发挥其可以自动运行既定程序指令，善做比较等数值运算、逻辑运算和关系运算等的优势，以及超级能算、速度超级快的特点。所以实现处理对象（新闻稿）的可算化，是首先需要攻克的突破口。而最简单的量化方案就是数数。再从“余弦定理”的角度看。什么情况下可以用到余弦定理？有什么必须克服的障碍？这是需要攻克的第二个突破口。有人提到：多维向量的夹角。接下来需要做的，就是在新闻稿与多维向量之间建立对应关系,即对文字信息的量化。这是需要攻克的第三个突破口。

再说“由厚到薄”，这是讲提炼精华。吴军原文的关键点：新闻稿，实际上就是语言文字组成的符号序列。它们在一个词汇库出现的频次是多少？这就是文字的量化！为增强长短文稿的可比性，可以做归一化，即改用频率。根据实际需要，还可以给它做加权调整，即用两个概率值的商。这就实现了文字的可计算性。然后可把新闻稿变成按既定词汇库顺序形成的数值序列，也就是向量，也称为新闻稿的特征向量。两篇新闻稿是否同类，就归结为两个特征向量的比较。这就实现了新闻稿内容的可比性。当然，直接比较大小没有意义；但两个不同特征向量之间夹角的大小恰好反映了两篇新闻稿内容类型的相近程度。要衡量向量夹角的大小，计算夹角余弦值即可。当然，还有若干技术细节需要认真处理。

一种“3－4－5－4”型半正则多面体（每个顶点的正多边形边数依次为3－4－5－4）的部分平面展开图：完整的展开图含正五边形12个，正方形30个，正三角形20个

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我的“数学情”

享受数学的天真烂漫

我读数学的切身体会：最好带着纸笔来研读，至少要静下心来、调动好奇心和不服输的劲头，准备好积极开动脑筋，别把它当成通俗小说看待——否则可能持续不了多久！更别指望让数学来博您哈哈大笑，但搞明白之后的会心一笑甚至深以为然的内心喜悦还是很有可能的。

我中学时代就钻研《有趣的数学》《数学万花镜》《如何求证》等课外读物，对数学产生了朴素而浓厚的兴趣。大学毕业后，又受益于波利亚《如何解题》《数学加德纳》等。

后来，通过《华罗庚传》《钱学森传》《冯康传》等人物传记，又了解到擅长数学的前辈们还都有卓越的组织管理和领导才能，对后辈的提携，以及坚定的爱国报国之心。

吴军在《数学之美》里强调西方古人提出的毕达哥拉斯定理与中国古人提出的勾股数组之间的区别。而害羞的黎曼、拉马努加等则在数学世界里找到了最好的心灵庇护所。《丘成桐自传》等更是提供了较多的有关学术研究和人生历程等丰富信息，令人颇受启发。

回想自己在离开大学校园和中学讲台后，终于离幸福的读书岁月越来越远，而在凡俗的生活中越陷越深；诗歌、小说、戏剧甚至戏曲等，我虽有多年阅读习惯，甚至也曾尝试写作散文和诗歌等，但总体来说只能旁观，甚至还有种种遗憾；只有数学、科学等有趣有魅力而且没有纷争或烦恼，才能更多深入参与、更多获得身在其中甚至游刃有余的存在感和乐趣，特别是开普勒三大定律来源等不解之谜依然萦绕在我心头……

得闲且读书吧，特别是得空在“醉”美的数学世界里小试身手！

最后，想起莎士比亚戏剧中的一句名言：“所有既往，都是序章！”那就让我们也把这篇文字当成欣赏数学的序章，得机会多多继续吧！

转载于：《石舫塔影》第167期