啊哈

                                      “醉”美数学

贾德星老师是我校优秀校友，他在数学领域有独到见解。他的“醉”美数学可以极大换起学生对数学的兴趣。现刊发他的文章，以飨读者。

贾德星，周口一高1986届毕业生，当年以优异的成绩考入北京大学数学系；曾加入北大登山协会（北大山鹰社的前身）。曾在北京55中任教。1997--2000年到人大读研，后在建行工作。崇尚积极心理学，喜欢积极乐观的生活方式。痴迷读书，爱下笔抒怀。新千年，曾在建行报发表多篇散文，比较关注时间主题。近年积极参与教育文化类信息传播。2019年10月开始强化对数学文化与教育教学领域相关信息的系统收集和传播。2021年初以来，以初等数学方式，在足球图案与半正则多面体、素数邻差(间隙)和《吠陀数学》的欣赏与探讨方面颇有所获。7月份，曾在北大86级校友群做过一次《数学情》主题讲座。2018年组织社区读书活动三十余次，2021年因此荣获北京海淀区最美家庭；《那时年少》入选文集《博雅漫记》。2020年以来多次发表稿件：《人生能有几回择》入选毕业三十年云聚纪念文集；《山鹰岁月》已在《北大山鹰社》公众号转载；《数学才子解读《平凡的世界》》已在《路遥文学馆》公众号转载；《怀念我的父亲》以朴实无华的风格得到人们认可。

图为贾德星（右）2021年6月19日，回母校拜访郭懋正老师。

目录

1. 莫忘趣味数学乐园，享受数学的天真烂漫

2. 信步数学花园，体会数学之美

3. 致敬丁校长，欣赏数学之用

4. 跟随华老的引领，体会主动参与

5. 我的“数学情”

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信步数学花园

体会数学之美

数学本身的魅力和审美特征，还有学习数学的乐趣，其实是公认的。我们不妨信步数学花园，简要体会数学之美。

# 从欧拉恒等式说起 #

数学结论往往是精细的、深刻的，让人觉得很惊奇。也就是说，这些内容不是直观能看到的，而是通过数学推理或比较具体的演算才能得出。比如关于正多面体或半正则多面体的种类的相关结论，欧拉提出的顶点数V、侧面数F与边棱数E之间关系的恒等式V+F-E=2本身已经令人惊奇了。由V+F-E=2做简单的恒等变形得到的关系式出发，利用V、F、E都是正整数的显然条件，做穷举法讨论，竟然就能推导出正多面体只有熟知的五种。其基本方法是：假定在某正多面体里有公共顶点的正m边形有n个，考虑边棱总数，即可以按照侧面多边形个数F进行可重复的统计，因为每条边恰好为相邻两个侧面共用，由此得到

2E = mF，则2E/m = F

边棱总数也可以按照顶点个数V进行可重复的统计，因为每个顶点恰好为相邻n个全等的侧面多边形共用，由此得到

2E = nV，则2E/n = V

即V、F均可由E和m、n表出，代回欧拉恒等式V+F-E=2，可得

1/m + 1/n  -1/2 = 1/E

而1/E显然小于1但大于0，由此可得不定不等式1/m+1/n>1/2。

由此进行穷举法讨论即可。

这里没有什么复杂的理论或工具，只是思路比较冷僻，结论对许多人来讲恐怕更是始料未及的：“怎么能？！”

不由想起《孙子兵法》：“多算多胜，少算少胜，而况无算乎？”算与不算，精细而准确地分析与否，与冲击世界难题的顶级专家丘成桐们、张益唐们长达上百页的论文，航天等领域专家们成千上万行的程序，围棋、象棋、桥牌比赛选手或者战场决策者们的殚精竭虑，或许都可以媲美，至少也可以促进对他们的思路或思维特点的理解和想象。

# 关于数的概念的拓展 #

数学作为关于数和形的学问，在其发展史上，数的概念不断获得拓展，不仅外延扩大了，内涵也得到了极大的深化；这个历程典型体现了数学思想是深刻的。质数或素数的概念并不复杂，但对它的定义和相关规律的认识和理解显然还有极大的尚未开拓的空间：“在1和它本身之外，没有其它的非平凡因子。”这是以否定句式做出的定义，而不是构造性的，有人称之为“例外集”，就像麻将里的“十三不靠”，可谓点明了其关键特征。在一定范围里的个数、间隔等都没有确切的规律可言，其分布特征也只有渐近规律即素数定理。关于哥德巴赫猜想的陈氏定理，关于孪生素数对的有限间隙定理已经是相当新的重大成果。

即便如此，也不影响我们业余爱好者对素数的探究或欣赏。比如关于相邻素数的差，我于12月2日晚用excel里的统计函数countif得到了具体结果：在5000以前的约670个素数里，邻差为6的有162对（可以有交叉或称重叠）。在其后的6个长度为一万的整数“区间”（指连续整数集）上，邻差为6的素数有171－208对（5次），最多的则达到248对。各区间上，比如5000~15000,或55000~65000，邻差为6的占比都是最高。为什么呢？令人好奇！是否总是如此？这恐怕也是高难度的猜想吧！

根据简单的统计比较，同样长度（比如1000或5000）的正整数区间上，素数在不断减少，但同比的减幅却越来越小！

事实上，但凡减幅能用任何底数确定（无论是0.99，0.9999，还是0.99999999……）的指数函数（指数位置的自变量一直指向无穷大）控制，素数就不是无限多个了。这跟欧几里得时代就已证明的“素数无穷多”的结论矛盾。所以，根据反证法，谁都无法用任何底数确定的指数函数来实现控制。……根据想象中的相应图像，不由令人想起“百褶裙”，这个联想真的很形象！其实，还应该想想“万褶裙”。

百褶裙

从毕达哥拉斯开始，希腊哲学开始产生了数学的传统。毕达哥拉斯对数学的研究还产生了后来的理念论和共相论。毕氏曾用数学研究乐律，由此产生的“和谐”概念也对后来古希腊的哲学家有重大影响。他还坚持数学论证必须从“假设”出发，开创演绎逻辑思想，对数学发展影响很大。

曾经激起毕达哥拉斯震怒的根号2（2的算术平方根），只是揭示了一个新概念“无理数”吗？作为初一学生的复习考试，或许足够了。但作为对数本身的认识，其实还远远不够,“无理数像有理数一样有无穷多个吗？”

毕达哥拉斯画像

2021年6月底，我有幸回母校拜访郭懋正老师，说起当年曾认真钻研《实变函数》但见木不见林，后来基本淡忘的体会。郭老师马上以实例来说明：学过与否肯定不一样——0到1区间上，有理数是可数的，其测度为0，可以密集挤压到0点；而无理数则是不可数的，其测度为1，或者实数轴上几乎处处都是无理数。另外还有一条结论，实数轴上的点可以与多维空间上的点建立一一对应关系；很显然吗？其实颇为不可思议！其发现者康托先生当年曾为此承受了极大精神压力。另外，中文术语“有理数”和“无理数”的翻译本身也只是对“成比例”与否的简单误解，跟中文词语“有理”和“无理”本身的字面意义无关。

再看虚数单位i，即-1的算术平方根，真的是虚无缥缈、没有客观存在的意义吗？从最初引进的角度看，似乎真是“虚的”、违背基本常识、没有实际意义。但随着复变函数研究的深入，特别是复变函数的指数形式表示、复变函数的求导等，及其在电磁学等领域的广泛应用，我们会领悟到当初的“虚数”之说或许只是简单的误解，是认识不到位所致：虚数单位i，其实是对二维平面上旋转周期性的深刻刻画，因而具有非常典型的客观存在意义。一个二维向量每乘以虚数单位i，就表示它逆时针旋转了90°；再乘以虚数单位i，就表示它已经逆时针旋转了180°，就是方向完全相反了；若四次乘以虚数单位i，就表示它逆时针旋转了一个周角。而号称最美的数学公式：自然对数底e的iπ次方等于-1， 即exp(iπ) =-1，也离不开虚数单位i。

复变函数

#大道至简与《几何原本》对逻辑推理的推崇 #

大道至简，最典型的例子就是爱因斯坦给出的质能关系方程式E=mc²，确实非常非常简洁，也很让人惊奇，因为里边竟然有光速c，他还能把质量m和能量E联系在一起，真是太出人意料了。他的相对论，其结论可靠性也能通过天文观测得到验证。当然，还有专家认为，数学之美更多体现在揭示了事物内在的一些规律、韵律。有的原理可能看起来并不那么简单，甚至无法找到解析表达式，只能用数值方法进行计算，或者不得不借助于超级计算机。例如，宇航控制、病毒基因测序、药物设计、天气预报或地震预警，计算虽然极其复杂，但其原理完全可以称为很美的，重要的。

数学之美还体现在另一方面：如果你能抓住关键的话，解决数学问题的时候给的答案可能是相当简洁或简明的。下面是关于参赛球队的1985年全国高中数学联赛题(第二试)：

“某足球邀请赛，有十六个城市参加，各派出甲、乙两队。根据比赛规则，两两之间最多只赛一场，而同城两队不比赛。经多日比赛后，现统计得知: 除A城甲队外,各队已赛场次各不相同,试问A城甲队的比赛场次数。请证明你的结论。”

我当年曾经有某个环节令我在赛场上感到困惑；而到中学任教期间，看到了相关《题解》书里收录的简短而精彩的解答：

“……在n个城市的情形，任一个球队满足条件的比赛最多有2n - 2场。不妨设B城甲队的比赛场次为2 n - 2，则B城乙队外各队都至少有一场比赛，场次均在1到2n - 2之间。则B城乙队的比赛场次只能为0。以下转化为城市数为n - 1个的情形……”,易知“……为公差d = 1的等差数列……”

答案只有十行左右，不到32开本的半页纸，没有繁杂演算，但论证逻辑严谨，充满思辨的魅力，堪称逻辑推理的典范，令我多年里念念不忘。2016年撰写大学入学30年的大聚征文时，我忍不住又自己试解一遍，“运”气也好得多；用“构造法”从易到难找到符合条件且很漂亮的对阵图表。并由此认为：“就跟喜欢读书一样，我当年对数学的喜欢，还是发自内心的。心底有真爱，此乃我生之大幸运！”

这两年，偶起兴致，购到了欧几里得《几何原本》中译本，发现率先建立几何公理体系的欧几里得氏竟然在书中透露出一种根深蒂固的信念：“逻辑严密的推理比数值计算更重要得多!”编译者在序言中说：这就是他当年倡导的审美标准；而上述竞赛题答案的特点恰好符合这种标准。美国前总统尼克松在回忆录《角斗场上》中说，他在大学学习法律时还要下功夫学习《几何原本》。从几千年后的今天来看，以希腊逻辑体系为发端的西方科学理性，与中国《九章算术》等或印度数学的特殊计算方法与技巧为代表的东方智慧，的确差异甚大、影响深远。不妨对比第一大节关于神奇数字142857的实例。

英国牛津大学欧几里得石像

#令人着迷的数论与异乎寻常的吠陀数学#

数学本身发端于对数量关系的充分关注，充分揭示规律性；数学的探究具有深刻性，而且富于变化，也令少数专家异乎寻常地着迷，最典型的就是数论。基础内容可以参考潘承洞、潘承彪《初等数论》或华罗庚《数论导引》等。数学研究上很有意思的一个现象，跟华老等和前面曾经提到的丘成桐、张益唐等也有关系：刚刚实现的重大突破，有时候道路走得特别曲折，即便是最后的结果，就是发表出来的论文，证明过程要写几百页，特别长；具体方法、过程没看到过，估计也看不懂，总之感觉不可思议。据说里边会用到一些关键的数字界限。就像他们曾经提到，当数值充分大的时候，某些结论就可以确认成立。《我的几何人生——丘成桐自传》里提到了其中的基本研究策略，或者可以称为战略：就是用看似与问题本身不直接相关的现代理论工具，建立估计；再设法把估计精细化，不断逼近。可以简称为“迂回式”策略，就是张筑生老师在数学分析课上提到过“关系映像原理”。比如哥德巴赫猜想的结论是关于素数的，但真正有效的研究方法和工具并不局限于素数本身，而是用到了椭圆函数、双曲函数等高深的现代数学方法，前苏联数学家的重要结论，华老的《堆垒素数论》等；所谓建立估计，就是给出了一些复杂的不等式，控制某些误差的范围；学过数学分析里的无穷级数求和，就可能好理解些；否则就可能无法跳出民间数学家的陷阱。

其中的“充分大”到底是多少？它并不是“无穷大”，但也不是几百、几千那样的一个数，他们有时可能有几十万。这样的数是怎么算出来的？这也是一个很神奇的艺术，很神奇的一个事。包括陈景润的结论。然而一旦有人取得突破，其他数学家就会做非常快的跟进，通过学习领悟，把他的结论，包括他的证明方法，进行大大的改进，也就是把他们里边提到的估计值边界或临界值给迅速调低。关于有无数孪生素数对满足的相互差值上限，据说张益唐的结果是非常大的一个数，可以确信存在无数对的素数之间的间隙是千万级的，但别人随后已把临界值调低到只有几千或者几百的程度，改进的幅度非常大。而改进之前极其粗糙的最初结果却是可以载入史册的，因为“万事开头难”！

事实上，随着人类思维能力的不断开拓，还会不断打通不同领域。像数学、物理，后来就有专门的数学物理方法。像代数、几何，后来就有专门的代数几何，如此等等。比如丘成桐《我的几何人生》提到的志向和成就：用电脑和网络的角度，或信息时代的角度，重新审视对“万物皆数”的理解——是毕达哥拉斯那个时代的认知太有局限或过于狂妄吗？未必呀！他和若干合作者致力于以偏微分方程为工具，打通适用于宏观领域的拓扑学与适用于微观领域的微分几何，开创了几何分析的研究新天地；他还致力于物理学与几何学等数学学科的重新融合，用几何学方法证明了正质量猜想、真空条件下的卡拉比猜想等。质量的本质是什么？跟空间、几何有什么关系？广义相对论时空弯曲是怎么回事？弦论和高维空间到底是啥意思？虽然不好懂，但的确不免令人好奇。

而神奇图书Vedic Mathematics（吠陀数学），国内有《印度数学》节译本，主要讲速算法部分；该书典型反映了印度人的数学思维，比如1/19，1/29，1/49等分子都是1而分母都以9结尾的这类分数，化成小数形式有简单的口诀式神奇方法和一系列特殊规律：这些循环小数的循环节个数都是分母减1，所以是偶数；前后可分为等长的两段，相加必得一串9，所以可以只求出一半，剩余部分用减法即可；末位都是从1开始，然后向左边的变化规律是每次乘以分母加1所得十位数字，乘积超过10的，把个位留下，十位以上的部分，按照进位处理即可。

是不是像神奇的“宇宙密码”142857（俗称）等等，或跟拉马努加一样令人感到惊奇？前文关于“宇宙密码”142857的解释其实就与该书提到的口诀式神奇方法有紧密关系。

未完待续

……

转载于：《石舫塔影》第167期