啊哈 “醉”美数学 贾德星老师是我校优秀校友，他在数学领域有独到见解。他的“醉”美数学可以极大换起学生对数学的兴趣。现刊发他的文章，以飨读者。 贾德星，周口一高1986届毕业生，当年以优异的成绩考入北京大学数学系；曾加入北大登山协会（北大山鹰社的前身）。曾在北京55中任教。1997--2000年到人大读研，后在建行工作。崇尚积极心理学，喜欢积极乐观的生活方式。痴迷读书，爱下笔抒怀。新千年，曾在建行报发表多篇散文，比较关注时间主题。近年积极参与教育文化类信息传播。2019年10月开始强化对数学文化与教育教学领域相关信息的系统收集和传播。2021年初以来，以初等数学方式，在足球图案与半正则多面体、素数邻差(间隙)和《吠陀数学》的欣赏与探讨方面颇有所获。7月份，曾在北大86级校友群做过一次《数学情》主题讲座。2018年组织社区读书活动三十余次，2021年因此荣获北京海淀区最美家庭；《那时年少》入选文集《博雅漫记》。2020年以来多次发表稿件：《人生能有几回择》入选毕业三十年云聚纪念文集；《山鹰岁月》已在《北大山鹰社》公众号转载；《数学才子解读《平凡的世界》》已在《路遥文学馆》公众号转载；《怀念我的父亲》以朴实无华的风格得到人们认可。 图为贾德星（右）2021年6月19日，回母校拜访郭懋正老师。 数学语言是表达科学思想的通用语言。只有懂得数学语言的人，才能听懂数学说的话，数学也才能向你敞开心扉。以心灵为圆心，一圈又一圈，去触碰那些跳跃性的数字；以妙笔为根号，一遍又一遍，让那些被开方数枝叶繁茂。这样的乐章令人着迷！我们怎能不喜欢？！ 培根《论读书》: “有的书只要读其中一部分，有的书只须知其梗概，而对于少数好书，则应当通读，细读，反复读。”——例如数学。 目录 1. 莫忘趣味数学乐园，享受数学的天真烂漫 2. 信步数学花园，体会数学之美 3. 致敬丁校长，欣赏数学之用 4. 跟随华老的引领，体会主动参与 5. 我的“数学情” 有两部电影《摔跤吧，爸爸》《奔跑吧，兄弟》，名字很有号召力，我们就借用：欣赏吧，数学！有人会说：“数学太难学了！”这是个刻板印象。关于数学游戏或玩具，在我们的成长之路上，有过许多幸福的记忆：游戏算积分、掷色子玩大富翁兑换票币、玩魔方、快算二十四等，玩耍过程是多么吸引人！既有挑战，也伴有成功的喜悦。如果对数学的印象变糟，恐怕大多是源于考试。但时过境迁，数学困难的警报可以解除，我们早就该从躲避数学的“防空洞”里钻出来了。来自数学世界的邀请函，非“数学情”无以胜任。 /1/ 莫忘趣味数学乐园 享受数学的天真烂漫 # “宇宙密码”142857与跳跃性思维 # 孩子上初中以前，曾跟我提到“宇宙密码”142857。据说是从金字塔里发现的，来源很古老啊。我们来看看它有多么神秘： 142857×3=428571 142857×2=285714 142857×6=857142 142857×4=285714×2=571428 142857×5=714285 从142857自身开始，所有计算结果里的组成数字，始终离不开这个数字串里的六个数字，而且不多也不少；如果把这个数字串看作圆圈状的，则除了头尾有变化，连顺序都不改变！的确给人感觉很神奇。 何以如此？有没有类似的其它数字串？ 再继续乘以7看看：142857×7=999999 也很令人惊奇！六个数位全是一样的，都是9。 再看： 999999=142857×2+142857×5=285714+714285 或 999999=142857×7=142857×4+142857×3=571428+428571 或 999999=142857×7=142857×6+142857×1=857142+142857 原来数字串142857，或者改换不同的头尾，若分成前后等长的两半，则相加即得999。或者说数字串142857每隔两位，前后两边的数字相加都得9。这是个重要的特点。神秘数字142857本身的构成还有个明显的特点：每两位来看，分别是7的2倍、4倍、8倍加1。最后的“加1”有些奇怪，但是绝不可少！ 何以如此？有没有类似的其它数字串？ 日前试用循环小数来解释，获得了如下结果：如果考虑跟数字串999999有关的数，最简单的是把它作为循环节的无限循环小数 1=0.999999 999999 999999 …… 两边除以7即得 1/7=0.142857 142857 142857 142857 …… 两边再乘以10即得 10/7=1+3/7=1.428571 428571 428571 …… 两边减去1即得 3/7=0.428571 428571 428571 …… 仍是以数字串142857为循环节，仅头尾变化，数字间相互顺序都不改变。其它的完全类似。因为这些循环节的长度为6，不同的变化只有6种。恰好对应于142857的以上全部6个倍数，含其自身。这表明142857关于加倍运算的“封闭性”最完美，这也就是上述的神秘性。 可见数字串142857的神秘性跟阿拉伯数字的十进制密切相关。无限循环小数的10倍、100倍……，除了“大头”（小数点前后）可能有变化，循环节部分只改变头尾（这跟从哪儿开始当作循环节有关。其实也可以把起始点往后推，前边不作为循环节看待），数字间相互顺序并不改变。 其它的循环节，比如027，它是1/37的小数形式的循环节，也可以有相应的首尾变化情况。但因为变化情形数（对于027，是3种）与其不同倍数（不计999，共36个）之间的对应关系没那么合适，就没有前述的封闭性了。 关于整数数字串142857的规律,为什么会想到用与循环小数有关的内容来解释？具体线索与《吠陀数学》有关，后边还要提到。从思维方法的角度，则与跳跃思维不无关系。“跳一跳，够得到”是东城区中学集体备课时听到的、富有启发性的教学经验。多年前，我还曾因为跟电脑学下五子棋，写过一篇《跳的感悟》，特别感慨跳跃性思维的重要性。学围棋的朋友当然更懂得开始布局设埋伏的重要性。就像下棋段位的不断提高；尤其是玩快算二十四、九连环等数学类益智游戏，学围棋、象棋，玩魔方，数独，也像登山，不断提升高度等，视野不断开阔，都会吸引爱好者来接受挑战，享受思维的魅力。 印度吠陀经 #从足球表面图案到半正则多面体 # 足球表面总共有多少个正五边形？多少个正六边形？他们具体是按什么规律融洽地组合到一起，成为一个近似的球形？更进一步考虑：还有没有类似的用两三种正多边形或相对规整的图形组合成近似球形的解决方案？更重要的是：用什么方法来表述和讨论类似问题？后来从不同角度对足球表面图案的内在规律进行观察，逐渐得出了一些比较有趣的描述性结果。其中最重要的是：根据各顶点内角和不超过360度的条件，导出了一些堪称惊人的意外结果。而且不局限于足球表面图案，还适用于所有的半正则多面体。 具体来说：如果考虑s个正m边形与t个正n边形共点(这里s、m、t和n是四个正整数未知量，其中m、n≥3且3≤s+t<6，前者是因为正多边形内角都小于180°，后者是因为正多边形内角都不小于60°)，并且依此方式能够组成比较规则的近似球形的多面体，则根据正多边形内角和公式，和各顶点内角和不超过360度的条件，即 s*(1－2/m)*180° + t*(1－2/n)*180° < 360° 立即可导出关于s、m、t和n四个正整数未知量的重要不定不等式： s*(1－2/m)+t*(1－2/n)＜2 其中 m、n≥3，3≤s+t<6. 然后就可以用穷举法做比较具体的分类讨论。此处省略。 参考相关资料，可知 s、m、t和n不同取值对应的直观几何意义如下： s=1, t=2，m=3时，n=6对应削去四个角的正四面体，而且边长相等。n=8对应削去八个角的正方体，而且边长相等。m=4时，n=6对应削去六个角的正八面体，而且边长相等。m=5时，n=6对应足球的表面结构。 s=1, t=3，n=3对应反棱柱。n=4时， m=3对应独孤信的26面印章，而且边长相等。 s=2, t=2，m=3而n=4，或m=4而n=3，对应截半立方体/立方八面体。m=5而n=3对应截半二十面体。 s=1, t=4, n=3时，m=4对应扭棱正方体。m=5对应扭棱十二面体。 对上述问题，可以采用多元一次方程组，讨论如下： 利用顶点处的分析，得到顶点和不同多边形的个数（面数）之间的关系式①， 利用分类统计，得到多面体边棱总数的关系式②， 利用分类统计，得到多面体顶点总数的两个或多个关系式（用一个即可）③， 多面体面的总数等于各类多边形的面数之和④， 欧拉定理⑤。 五个未知数，五个多元一次方程，联立可得五元一次方程组，这是可解的。我已经具体验证过，对所有13种半正则多面体都是可行的。 具体举例来说： 考虑半正则多面体所有内角的总和，可按各面计算再汇总，也可按各顶点计算再汇总，两个思路计算结果必然相等，即 2v*(m-2)/m + v*(n-2)/n =f1*(m-2) + f2*(n-2) 以足球型多面体为例，m=6，n=5分别是两种正多边形的边数，而f1 是正六边形的总数，f2 是正五边形的总数。 化简可得 29v/15=4f1+3f2. 因所有正五边形的边都与正六边形共用，恰占正六边形总数的一半，可得关系式 3f1=5f2. 两等式联立二元一次方程组，即可解得f1=20和f2=12。 足球型半正则多面体的直观图上，能画出三个相同的一笔画 #改写惠特曼诗作《我坚毅求索》 # 2021年7月收到《我的几何人生：丘成桐自传》，翻开目录，竟然首先发现他附录里有一篇《中华赋》，篇幅有几十页，应该说是上万字，当时觉得太意外了。后来越读越感动越喜欢，还以丘大师为参照对象，即兴翻译了惠特曼的诗作。 《我坚毅求索》 我上下求索 坚毅探求 茫茫天地间 厚德堪载物 万物皆可和谐处 何惧纷乱生 我在南粤长大 磨砺心智于困窘 受激励于父母之传承 汲取坚毅的精神力量 于中华文史 复杂情感凝结成 做大学问之浓厚兴趣 早年确立志向于数学 遂终生驰骋于学术之天地 我道法自然 以深察至真大美为志趣 携空间曲率和微分方程等工具 与众合作伙伴勇立潮头 潜心探寻宇宙宏观 与微观之真相 我积极投身几何与分析的融合 及数学与物理的跨界交流 师生挚友相互砥砺前行 勤奋援笔计算推理摹画 尝试打通学科关隘 累有重要斩获 我善求东方西方 古与今 文与理之平衡 潜心精微数学规律之研究 而又以诗赋为能 身在新大陆 又情系大中华 我以勤苦为乐 又常常兴奋难抑 即便有人际交往之误解 教训也可助我成长 学术困惑、挫折 甚至遭受媒体或网络攻击 那又算得了什么 未完待续 …… 转载于：《石舫塔影》第167期 
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